微积分学示例

$e^{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

将 $e^{\sqrt{x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{\sqrt{x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int e^{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

使 $u = \sqrt{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$\int 2 u e^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int u e^{u} d u$

解题步骤 6

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 8

化简。

$2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 9

使用 $\sqrt{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = e^{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}) + C$

微积分学 示例