微积分学示例

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.1.3

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

重写表达式。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.4

化简。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5.2

将 $2$ 移到 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.6.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.10

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.11

合并分数。

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解题步骤 2.1.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.12

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.15

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.16

用公分母合并 $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.1.1.16.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.16.2

要将 $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.16.3

组合 $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.16.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.18

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1.18.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.18.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.19

化简 $4 x {(x + 1)}^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.20

将 $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ 重写为乘积形式。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.21

将 $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

解题步骤 2.1.1.22

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.1.1.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.24

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.25

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.26

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27

化简。

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解题步骤 2.1.1.27.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.27.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.27.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.27.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.2.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.3

从 $3 x^{2} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.27.3.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (3 x) + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.3.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.27.3.3

从 $x (3 x) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (3 x + 4)$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 x + 4$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5

求微分。

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解题步骤 2.1.2.5.1

根据加法法则， $3 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + 0) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.5.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 3 + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.6.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot x + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + (3 x + 4) \cdot 1) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.5.8.1

将 $3 x + 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 3 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.5.8.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.6.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.10.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.11.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.11.2

组合 $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.12

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.15

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.15.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.15.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16

化简。

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解题步骤 2.1.2.16.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.16.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.3

将 $4$ 移到 ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5

乘以 $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.4

组合 $\frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.5.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.16.1.6.1

将 $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 (2))}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.6.3

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 \cdot 2)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.6.4

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.7

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.9

要将 $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.10

组合 $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} + \frac{- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.11

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.16.1.12.1

从 $- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2$ 中分解出因数 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.1.1

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.1.2

移动 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 x \cdot (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.1.3

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.2

从 $- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.3

从 $- 6 \cdot 2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.1.4

从 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)$ 中分解出因数 $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.12.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.13

要将 $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.14

组合 $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.15

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.16

要将 $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.17

组合 $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.18

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.19

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20

以因式分解的形式重写 $\frac{2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.20.1

从 $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.20.1.1

从 $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.1.2

从 $2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.1.3

从 $3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.1.4

从 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.1.5

从 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.4

化简。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 \cdot 1 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.7

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.8

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.9

化简。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.10

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.11

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.20.11.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.11.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.12

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.13

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.14

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.15

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.16

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.16.1.20.16.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.1.20.16.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.16.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.16.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.17

将 $8 x$ 和 $12 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (20 x + 8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.18

从 $20 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.19

从 $12 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 3 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.1.20.20

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.16.2.1

将 $\frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.2

将 $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{3})}$

解题步骤 2.1.2.16.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{4 {(x + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5

通过指数相加将 ${(x + 1)}^{3}$ 乘以 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.2.16.2.5.1

移动 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3})}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.16.2.5.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.16.2.5.6.2

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$3 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $a = 3$ 、 $b = 8$ 和 $c = 8$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.3.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.3

从 $64$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.4

将 $- 32$ 重写为 $- 1 (32)$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (32)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.7

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 2.2.3.3.3

化简 $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.4.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.2.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.3

从 $64$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.4

将 $- 32$ 重写为 $- 1 (32)$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (32)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.7

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.4.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 2.2.3.4.3

化简 $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.4.5

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.4.6

从 $2 i \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 i \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.2.3.4.7

从 $- 1 (4) - (- 2 i \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (4 - 2 i \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.2.3.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.2.3.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.5.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.2.3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.3

从 $64$ 中减去 $96$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.4

将 $- 32$ 重写为 $- 1 (32)$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (32)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.7

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.5.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.2.3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 2.2.3.5.3

化简 $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.5.5

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.5.6

从 $- 2 i \sqrt{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 i \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.2.3.5.7

从 $- 1 (4) - (2 i \sqrt{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (4 + 2 i \sqrt{2})}{3}$

解题步骤 2.2.3.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 2.2.3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}, - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

解题步骤 3

求 $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 1 \geq 0$

解题步骤 3.2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 3.3

将 $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x + 1} = 0$

解题步骤 3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + 1}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

化简 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

化简。

$x + 1 = 0^{2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.4.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 1}$

区间计数法：

$(- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 1}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- 1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- 1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} + 8 (0) + 8}{4 {((0) + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = \frac{0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$f'' (0) = \frac{8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 5.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{8}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $8$ 除以 $4$ 。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例