微积分学示例

$f (x) = x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ , $x = 1$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{1}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{15 x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5}$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.2.3.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 1.2.5

将 ${(x^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

解题步骤 1.2.5.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

解题步骤 1.2.6

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

解题步骤 1.2.7

通过指数相加将 $x^{- 10}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

解题步骤 1.2.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

解题步骤 1.2.7.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

解题步骤 1.2.8

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

解题步骤 1.2.9

组合 $5$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

解题步骤 1.2.10

组合 $\frac{5}{15}$ 和 $x^{- 6}$ 。

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

解题步骤 1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 6}$ 移动到分母。

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

解题步骤 1.2.12

约去 $5$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.12.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

解题步骤 1.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.12.2.1

从 $15 x^{6}$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

解题步骤 1.2.12.2.2

约去公因数。

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

解题步骤 1.2.12.2.3

重写表达式。

$5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 5 \cdot 1 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

解题步骤 3.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 {(1)}^{6}}$

解题步骤 3.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 5 + \frac{1}{3}$

解题步骤 4

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (1) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 5

组合 $5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$f' (1) = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (1) = \frac{15 + 1}{3}$

解题步骤 7.2

将 $15$ 和 $1$ 相加。

$f' (1) = \frac{16}{3}$

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