微积分学示例

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

解题步骤 1

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

解题步骤 1.2

使用对数的性质化简微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将 $x^{e^{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

解题步骤 1.2.2

通过将 $e^{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{e^{x}})$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = e^{x} \ln (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x} \ln (x)$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 1.3.3

使用 $e^{x} \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

解题步骤 1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.6

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 1.7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.1

运用分配律。

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.2.1

组合 $\frac{e^{x}}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2.2

组合 $\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ 和 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2.3

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.8.2.3.1

移动 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2.4

将 $2$ 移到 $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 1.8.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 1.8.2.6

要将 $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 1.8.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 1.8.3

重新排序项。

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

解题步骤 2

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

解题步骤 3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

去掉圆括号。

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

解题步骤 3.2

用 $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ 除以 $1$ 。

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

化简。

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.1.3

将 $e$ 乘以 $0$ 。

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.3

化简。

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.5

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.6

乘以 $2 e \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.6.2

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.7

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

化简。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

解题步骤 4.7.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

解题步骤 4.7.3

将 $e$ 乘以 $0$ 。

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

解题步骤 4.8

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (1) = 0 + 2 e$

解题步骤 4.9

化简。

$f' (1) = 0 + 2 e$

解题步骤 5

将 $0$ 和 $2 e$ 相加。

$f' (1) = 2 e$

微积分学 示例

微积分学示例