微积分学示例

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\cos (q)}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\cos (q)})$

解题步骤 2

$p$ 对 $q$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ 且 $g (q) = \cos (q)$ 。

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $\sin (q) + \cos (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ 。

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.3

$\sin (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\cos (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.4

$\cos (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.5

$\cos (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \sin (q)$ 。

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.6

乘。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) + 1 (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.6.2

将 $\sin (q) + \cos (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (q) (\cos (q) - \sin (q)) + (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

运用分配律。

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + (\sin (q) + \cos (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3

化简分子。

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解题步骤 3.7.3.1

合并 $\cos (q) \cos (q) + \cos (q) (- \sin (q)) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)$ 中相反的项。

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解题步骤 3.7.3.1.1

按照 $\cos (q) (- \sin (q))$ 和 $\cos (q) \sin (q)$ 重新排列因数。

$\frac{\cos (q) \cos (q) - \cos (q) \sin (q) + \sin (q) \sin (q) + \cos (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.1.2

将 $- \cos (q) \sin (q)$ 和 $\cos (q) \sin (q)$ 相加。

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q) + 0}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.1.3

将 $\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.7.3.2.1

乘以 $\cos (q) \cos (q)$ 。

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解题步骤 3.7.3.2.1.1

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (q) \cos (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.1.2

对 $\cos (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{1} (q) \cos^{1} (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\cos (q)}^{1 + 1} + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.2

乘以 $\sin (q) \sin (q)$ 。

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解题步骤 3.7.3.2.2.1

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{1} (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.2.2

对 $\sin (q)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{1} (q) \sin^{1} (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos^{2} (q) + {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.3

重新整理项。

$\frac{\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.3.4

使用勾股恒等式。

$\frac{1}{\cos^{2} (q)}$

解题步骤 3.7.4

将 $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ 转换成 $\sec^{2} (q)$ 。

$\sec^{2} (q)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = \sec^{2} (q)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d p}{d q}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d q} = \sec^{2} (q)$

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