微积分学示例

$p = \frac{6 \sqrt[6]{q}}{1 - q}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[6]{q}$ 重写成 $q^{\frac{1}{6}}$ 。

$p = \frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q})$

解题步骤 3

$p$ 对 $q$ 的导数为 $p'$ 。

$p'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $6$ 对于 $q$ 是常数，所以 $\frac{6 q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}$ 对 $q$ 的导数是 $6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$ 。

$6 \frac{d}{d q} [\frac{q^{\frac{1}{6}}}{1 - q}]$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = q^{\frac{1}{6}}$ 且 $g (q) = 1 - q$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{d}{d q} [q^{\frac{1}{6}}] - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{6}$ 。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{1 - 6}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{\frac{- 5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.1

将负号移到分数的前面。

$6 \frac{(1 - q) (\frac{1}{6} q^{- \frac{5}{6}}) - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $q^{- \frac{5}{6}}$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{q^{- \frac{5}{6}}}{6} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $q^{- \frac{5}{6}}$ 移动到分母。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [1 - q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.9

根据加法法则， $1 - q$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q]$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.10

因为 $1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $1$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (0 + \frac{d}{d q} [- q])}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d q} [- q]$ 相加。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [- q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.12

因为 $- 1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- q$ 对 $q$ 的导数是 $- \frac{d}{d q} [q]$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} (- \frac{d}{d q} [q])}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.13

乘。

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解题步骤 4.13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 1 q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.13.2

将 $q^{\frac{1}{6}}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d q} [q]}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ 等于 $n q^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}} \cdot 1}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.15

合并分数。

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解题步骤 4.15.1

将 $q^{\frac{1}{6}}$ 乘以 $1$ 。

$6 \frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.15.2

组合 $6$ 和 $\frac{(1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ 。

$\frac{6 ((1 - q) \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16

化简。

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解题步骤 4.16.1

运用分配律。

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} - q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{1}{6}})}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.2

运用分配律。

$\frac{6 (1 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3

化简分子。

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解题步骤 4.16.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.16.3.1.1

将 $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{6 \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- q \frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.3

组合 $\frac{1}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ 和 $q$ 。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 (- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.4

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.3.1.4.1

将 $- \frac{q}{6 q^{\frac{5}{6}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 \frac{- q}{6 q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + \frac{- q}{q^{\frac{5}{6}}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.5

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $q^{\frac{5}{6}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q \cdot q^{- \frac{5}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q^{- \frac{5}{6}}$ 。

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解题步骤 4.16.3.1.6.1

移动 $q^{- \frac{5}{6}}$ 。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6.2

将 $q^{- \frac{5}{6}}$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 4.16.3.1.6.2.1

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - (q^{- \frac{5}{6}} q^{1}) + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + 1} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{- \frac{5}{6} + \frac{6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{- 5 + 6}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.1.6.5

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} - q^{\frac{1}{6}} + 6 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.3.2

将 $- q^{\frac{1}{6}}$ 和 $6 q^{\frac{1}{6}}$ 相加。

$\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4

合并项。

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解题步骤 4.16.4.1

将 $\frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$ 乘以 $\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}}$ 。

$\frac{q^{\frac{5}{6}}}{q^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}}}{{(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.2

合并。

$\frac{q^{\frac{5}{6}} (\frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + 5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.3

运用分配律。

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.4

约去 $q^{\frac{5}{6}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.16.4.4.1

约去公因数。

$\frac{q^{\frac{5}{6}} \frac{1}{q^{\frac{5}{6}}} + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.4.2

重写表达式。

$\frac{1 + q^{\frac{5}{6}} (5 q^{\frac{1}{6}})}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.5

通过指数相加将 $q^{\frac{5}{6}}$ 乘以 $q^{\frac{1}{6}}$ 。

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解题步骤 4.16.4.5.1

移动 $q^{\frac{1}{6}}$ 。

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6}} q^{\frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + q^{\frac{1}{6} + \frac{5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + q^{\frac{1 + 5}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.5.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{1 + q^{\frac{6}{6}} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.5.5

用 $6$ 除以 $6$ 。

$\frac{1 + q^{1} \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.6

化简 $q^{1} \cdot 5$ 。

$\frac{1 + q \cdot 5}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.4.7

将 $5$ 移到 $q$ 的左侧。

$\frac{1 + 5 q}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 4.16.5

重新排序项。

$\frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$p' = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d p}{d q}$ 替换 $p'$ 。

$\frac{d p}{d q} = \frac{5 q + 1}{q^{\frac{5}{6}} {(1 - q)}^{2}}$

微积分学 示例

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