微积分学示例

$y = arccot (\sqrt{4 t})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 t}$ 重写成 ${(4 t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot ({(4 t)}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

从 $4 t$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d t} [arccot ({(4 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

对 $4 (t)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d t} [arccot (4^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d t} [arccot ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{2 (\frac{1}{2})} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{d}{d t} [arccot (2^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.4

计算指数。

$\frac{d}{d t} [arccot (2 t^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = arccot (t)$ 且 $g (t) = 2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5.2

$arccot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5.3

使用 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{1 + {(2 t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.6.1

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{1 + {(2 (t^{\frac{1}{2}}))}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2

化简表达式。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $2 (t^{\frac{1}{2}})$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{1 + 2^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2.3

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.3.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.6.2.3.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{1 + 4 t^{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.7

化简。

$- \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.8

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{1}{1 + 4 t} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.9.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{1 + 4 t}$ 。

$\frac{- 2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.9.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{1 + 4 t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.13

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.14

化简分子。

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解题步骤 4.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 4.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{1 + 4 t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 4.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2}{1 + 4 t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 4.17

将 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{1 + 4 t}$ 。

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (1 + 4 t)}$

解题步骤 4.18

化简表达式。

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解题步骤 4.18.1

将 $2$ 移到 $t^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + 4 t)}$

解题步骤 4.18.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

$- \frac{2}{2 (1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20

重写表达式。

$- \frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21

化简。

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解题步骤 4.21.1

运用分配律。

$- \frac{1}{1 t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2

合并项。

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解题步骤 4.21.2.1

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.21.2.2.1

移动 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

解题步骤 4.21.2.2.2

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.21.2.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

解题步骤 4.21.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 4.21.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.21.3

化简分母。

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解题步骤 4.21.3.1

从 $t^{\frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.21.3.1.1

乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 4 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.21.3.1.2

从 $4 t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 4.21.3.1.3

从 $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (4 t^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 4.21.3.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t^{1})}$

解题步骤 4.21.3.3

化简。

$- \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$

微积分学 示例

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