微积分学示例

$y = 3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ 。

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 7)}^{3}] + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 2 t^{2} - 7$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t^{2} - 7$ 。

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 t^{2} - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $2 t^{2} - 7$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 7$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + 0)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.4.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$3 (t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2} t) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.5

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (t^{1} t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.6

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (t^{1} t^{1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (t^{1 + 1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 3.10

将 ${(2 t^{2} - 7)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

解题步骤 3.11.2

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$36 (t^{2} ({(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

解题步骤 3.11.3

从 $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2} + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.3.1

从 $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 中分解出因数 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 。

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

解题步骤 3.11.3.2

从 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ 中分解出因数 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 。

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.3.3

从 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$ 中分解出因数 $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 。

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2} + 2 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.4

将 $12 t^{2}$ 和 $2 t^{2}$ 相加。

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.5

将 ${(2 t^{2} - 7)}^{2}$ 重写为 $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ 。

$3 ((2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.6

使用 FOIL 方法展开 $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ 。

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解题步骤 3.11.6.1

运用分配律。

$3 (2 t^{2} (2 t^{2} - 7) - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.6.2

运用分配律。

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.6.3

运用分配律。

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.11.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.11.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.7.1.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$3 (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$3 (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.4

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.5

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.1.6

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.7.2

从 $- 14 t^{2}$ 中减去 $14 t^{2}$ 。

$3 (4 t^{4} - 28 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.8

运用分配律。

$(3 (4 t^{4}) + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.9

化简。

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解题步骤 3.11.9.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$(12 t^{4} + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.9.2

将 $- 28$ 乘以 $3$ 。

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.9.3

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$

解题步骤 3.11.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$ 。

$12 t^{4} (14 t^{2}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11

化简每一项。

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解题步骤 3.11.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 \cdot 14 t^{4} t^{2} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.2

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.11.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$12 \cdot 14 (t^{2} t^{4}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 \cdot 14 t^{2 + 4} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.2.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$12 \cdot 14 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.3

将 $12$ 乘以 $14$ 。

$168 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.4

将 $- 7$ 乘以 $12$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2} t^{2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.6

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.11.6.1

移动 $t^{2}$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 (t^{2} t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2 + 2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.6.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.7

将 $- 84$ 乘以 $14$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.8

将 $- 7$ 乘以 $- 84$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.9

将 $14$ 乘以 $147$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} + 147 \cdot - 7$

解题步骤 3.11.11.10

将 $147$ 乘以 $- 7$ 。

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

解题步骤 3.11.12

从 $- 84 t^{4}$ 中减去 $1176 t^{4}$ 。

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

解题步骤 3.11.13

将 $588 t^{2}$ 和 $2058 t^{2}$ 相加。

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

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