微积分学示例

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{p}$ 重写成 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d p} (y) = \frac{d}{d p} (e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $p$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

通过指数相加将 $p$ 乘以 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 $p$ 乘以 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $p$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

解题步骤 4.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

解题步骤 4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ 等于 $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ ，其中 $f (p) = e^{p}$ 且 $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

根据加法法则， $p + p^{\frac{3}{2}}$ 对 $p$ 的导数是 $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ 。

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 等于 $n p^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $p^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

解题步骤 4.9

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ 等于 $a^{p} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

运用分配律。

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

解题步骤 4.10.2

运用分配律。

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

解题步骤 4.10.3

合并项。

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解题步骤 4.10.3.1

将 $e^{p}$ 乘以 $1$ 。

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

解题步骤 4.10.3.2

组合 $e^{p}$ 和 $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

解题步骤 4.10.4

重新排序项。

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d p}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d p} = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

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