微积分学示例

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.3.2.1

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.8

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.9

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.2.10

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

解题步骤 2.3.2

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.3.5

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.5

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.6

从 $- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 中减去 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.7

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 2.4.2.8

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.8.1

从 $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

解题步骤 2.4.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 2.4.2.8.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.8.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

解题步骤 2.4.2.8.2.4

用 $- e^{- \frac{x}{2}}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x}{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $- \frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

组合 $e^{- \frac{x}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.6

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 5.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- \frac{x}{2}}$ 。

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- \frac{x}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.4.2.3

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.5

将 $- \frac{x}{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- \frac{x}{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{x}{2} = - 1$

解题步骤 5.5.2.2

等式两边同时乘以 $- 2$ 。

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

化简 $- 2 (- \frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.1

将 $- \frac{x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.4

重写表达式。

$- - x = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.2

乘。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = - 2 \cdot - 1$

解题步骤 5.5.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.6

最终解为使 $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{2}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.2.2

重写表达式。

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.2.1

从 $4 e^{1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.4

化简。

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 9.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

解题步骤 9.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

解题步骤 9.2

要将 $- \frac{1}{e}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 9.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 e$ 的形式。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

解题步骤 9.3.2

重新排序 $e \cdot 2$ 的因式。

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 2}{2 e}$

解题步骤 9.5

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{2 e}$

解题步骤 9.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 e}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

约去公因数。

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

重写表达式。

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 11.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f (2) = \frac{2}{e}$

解题步骤 11.2.5

最终答案为 $\frac{2}{e}$ 。

$y = \frac{2}{e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ 的局部极值。

$(2, \frac{2}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例