微积分学示例

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.12

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.13

约去公因数。

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解题步骤 1.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 1.13.2

约去公因数。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.13.3

重写表达式。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.14

将负号移到分数的前面。

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

运用分配律。

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.15.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.15.3

重新排序 $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 1.15.4.1

运用分配律。

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.4.2

运用分配律。

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.4.3

运用分配律。

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.15.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.15.5.1.1

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.2

将 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.3

乘以 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ 。

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解题步骤 1.15.5.1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.3.3

组合 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.15.5.1.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.15.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5.4

在公分母上合并分子。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.6

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.15.5.1.6.1

将 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.15.5.1.6.2

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

解题步骤 1.15.5.1.6.3

约去公因数。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

解题步骤 1.15.5.1.6.4

重写表达式。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

解题步骤 1.15.5.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

解题步骤 1.15.5.2

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.9

组合 $- 6$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.11

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.12

约去公因数。

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解题步骤 2.3.12.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.12.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.12.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.3.13

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.1.3.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.1.8

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.1.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.12

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.13

约去公因数。

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解题步骤 4.1.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 4.1.13.2

约去公因数。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.13.3

重写表达式。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.15

化简。

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解题步骤 4.1.15.1

运用分配律。

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.15.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 4.1.15.3

重新排序 $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ 的因式。

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 4.1.15.4.1

运用分配律。

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.4.2

运用分配律。

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.4.3

运用分配律。

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.15.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.15.5.1.1

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.2

将 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.3

乘以 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ 。

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解题步骤 4.1.15.5.1.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.3.3

组合 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1.15.5.1.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.15.5.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.5.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.6

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.15.5.1.6.1

将 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.15.5.1.6.2

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

解题步骤 4.1.15.5.1.6.3

约去公因数。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

解题步骤 4.1.15.5.1.6.4

重写表达式。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

解题步骤 4.1.15.5.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

解题步骤 4.1.15.5.2

从 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ 。

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

将 $x$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

解题步骤 5.2.2

使 $u = x^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $2 u^{2} - 6 u + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $2 u^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

解题步骤 5.2.3.2

从 $- 6 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

解题步骤 5.2.3.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.3.4

从 $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

解题步骤 5.2.3.5

从 $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

解题步骤 5.2.4

因数。

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解题步骤 5.2.4.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 5.2.4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.4.2

去掉多余的括号。

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

解题步骤 5.2.5

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

解题步骤 5.4.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

解题步骤 5.4.2.3

化简指数。

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解题步骤 5.4.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 2^{2}$

解题步骤 5.4.2.3.1.1.2

化简。

$x = 2^{2}$

解题步骤 5.4.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 4$

解题步骤 5.5

将 $x^{\frac{1}{2}} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

解题步骤 5.5.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简指数。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 1^{2}$

解题步骤 5.5.2.3.1.1.2

化简。

$x = 1^{2}$

解题步骤 5.5.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$x = 1$

解题步骤 5.6

最终解为使 $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

解题步骤 6.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 4, 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 9.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.1

约去公因数。

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 9.1.3.2

重写表达式。

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

解题步骤 9.1.4

计算指数。

$2 - \frac{3}{2}$

解题步骤 9.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 9.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 9.5

化简分子。

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解题步骤 9.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 - 3}{2}$

解题步骤 9.5.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

解题步骤 11.2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

解题步骤 11.2.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (4) = 0^{2}$

解题步骤 11.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (4) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

一的任意次幂都为一。

$2 - \frac{3}{1}$

解题步骤 13.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 3$

解题步骤 13.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 - 3$

解题步骤 13.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 1$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

解题步骤 15.2.2

化简表达式。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

解题步骤 15.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (1) = 1$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ 的局部极值。

$(4, 0)$ 是一个局部最小值

$(1, 1)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例