微积分学示例

$y = 2 x - \tan (x)$

解题步骤 1

将 $y = 2 x - \tan (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 x - \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

解题步骤 2.1.3.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

求微分。

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解题步骤 2.2.1.1

根据加法法则， $2 - \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sec^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

解题步骤 2.2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (x)$ 。

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解题步骤 2.2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sec (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.2.2.3

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

解题步骤 2.2.2.3

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

解题步骤 2.2.2.4

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.2.2.5

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

解题步骤 2.2.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

解题步骤 2.2.2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

解题步骤 2.2.2.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.2.3

从 $0$ 中减去 $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ 。

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.3

将 $\sec^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $\sec^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\sec^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sec (x) = \pm 0$

解题步骤 3.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 3.4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

最终解为使 $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

通过将代入 $f (x) = 2 x - \tan (x)$ 中求得的点为 $(,)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(,)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty,)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ 。

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $0.20268949$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty,)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty,)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

解题步骤 7.2

最终答案为 $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ 。

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 0.20268949$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(,)$ 。

$(,)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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