微积分学示例

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.1.3

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.2.1

约去公因数。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.1.3.2.2

重写表达式。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.4

化简。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.5

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.5.2

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.6.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.10

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.11

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.12

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.14

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.15

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.15.4

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.20

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.21

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.21.1

从 $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.21.2

约去公因数。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.21.3

重写表达式。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.22

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.23

要将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.24

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.25

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.25.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.25.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.25.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.25.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x^{2} + 2) - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.26

化简 ${(x^{2} + 2)}^{1}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{x^{2} + 2 - x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.27

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{0 + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.28

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.29

将 $\frac{\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 2}$ 重写为乘积形式。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 2})$

解题步骤 2.1.30

将 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 2}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

解题步骤 2.1.31

通过指数相加将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.31.1

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.31.1.1

对 $x^{2} + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2)})$

解题步骤 2.1.31.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}})$

解题步骤 2.1.31.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.1.31.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}})$

解题步骤 2.1.31.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.1.32

组合 $2$ 和 $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.33

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使用常数相乘法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.2.1.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

解题步骤 2.2.1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 2.2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $x^{2} + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.6.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.8

组合 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.9

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.9.1

将 $3$ 移到 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 4 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.9.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 4 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))$

解题步骤 2.2.10

组合 $\frac{3}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 和 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 4}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.11

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.12

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.13.1

从 $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.13.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 6}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.13.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.14

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)$

解题步骤 2.2.15

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))$

解题步骤 2.2.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))$

解题步骤 2.2.17

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 2.2.18

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.18.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 2.2.18.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 2.2.18.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 6}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 2.2.18.4

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 2.2.18.5

组合 $\frac{- 12}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.2.18.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$12 x = 0$

解题步骤 3.3

将 $12 x = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $12 x = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{2 (0)}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0^{2} + 2}}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{0 + 2}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (0) = \frac{0}{\sqrt{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $0$ 除以 $\sqrt{2}$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{12 (- 0.1)}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $12$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({(- 0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0.01$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $2.01$ 重写为 ${1.41774468}^{2}$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 6.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.5.1

约去公因数。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 6.2.2.5.2

重写表达式。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{{1.41774468}^{5}}$

解题步骤 6.2.2.6

对 $1.41774468$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 1.2}{5.72783031}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

用 $- 1.2$ 除以 $5.72783031$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

解题步骤 6.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 0.20950341$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.20950341$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $0.20950341$ 。

$0.20950341$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $0.20950341$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{12 (0.1)}{{({(0.1)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $12$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({0.1}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{(0.01 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0.01$ 和 $2$ 相加。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{2.01}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.3

将 $2.01$ 重写为 ${1.41774468}^{2}$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{({1.41774468}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.5.1

约去公因数。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{2 (\frac{5}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.5.2

重写表达式。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{{1.41774468}^{5}}$

解题步骤 7.2.2.6

对 $1.41774468$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (0.1) = - \frac{1.2}{5.72783031}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.3.1

用 $1.2$ 除以 $5.72783031$ 。

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.20950341$

解题步骤 7.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0.20950341$ 。

$f'' (0.1) = - 0.20950341$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 0.20950341$ 。

$- 0.20950341$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 0.20950341$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例