微积分学示例

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

解题步骤 1

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $x$ 和 $2 x$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

解题步骤 3

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理，取 $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ 对 $x$ 的导数。

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

解题步骤 5

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ 对 $x$ 的导数。

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3.3

化简表达式。

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解题步骤 6.3.3.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3.3.3

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

解题步骤 6.3.3.4

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

解题步骤 7.3.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

解题步骤 7.3.3

将 $48$ 乘以 $2$ 。

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

解题步骤 7.3.4

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

解题步骤 7.3.5

将 $- 12 x^{2}$ 和 $96 x^{2}$ 相加。

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

解题步骤 7.3.6

从 $6 x$ 中减去 $24 x$ 。

$84 x^{2} - 18 x$

微积分学 示例

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