微积分学示例

$\frac{d}{d x} (\int x^{11} d x)$

解题步骤 1

约去 $d$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot \int x^{11} d x]$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot \int x^{11} d x]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{x}$ 且 $g (x) = \int x^{11} d x$ 。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\int x^{11} d x] + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3

$\int x^{11} d x$ 是 $x^{11}$ 的不定积分，因此，根据定义， $\frac{d}{d x} [\int x^{11} d x]$ 为 $x^{11}$ 。

$\frac{1}{x} x^{11} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $x^{11}$ 。

$\frac{x^{11}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2

约去 $x^{11}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $x^{11}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x^{1}} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x^{10}}{x \cdot 1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x^{10}}{1} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.2.2.5

用 $x^{10}$ 除以 $1$ 。

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x^{10} + \int x^{11} d x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{10} + \int x^{11} d x (- x^{- 2})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x^{10} + \int x^{11} d x (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$x^{10} - \frac{1}{x^{2}} \int x^{11} d x$

解题步骤 6.3

组合 $- \frac{1}{x^{2}}$ 和 $\int x^{11} d x$ 。

$x^{10} - \frac{\int x^{11} d x}{x^{2}}$

微积分学 示例

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