微积分学示例

$y = e^{x}$ ; $[0, 5]$

解题步骤 1

将 $y = e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{x}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} e^{x} d x)$

解题步骤 6

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{x}]_{0}^{5})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{x}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((e^{5}) - e^{0})$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{5} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (e^{5} - 1)$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (e^{5} - 1)$

解题步骤 8.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (e^{5} - 1)$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $e^{5}$ 。

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5}$

解题步骤 9.4

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5}$

解题步骤 10

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