微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{5}{x^{2} + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 1.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 1.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 1.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 1.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 1.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

解题步骤 6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 7

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

解题步骤 8

计算 $\arctan (x)$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

解题步骤 9.1.2

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

解题步骤 9.1.3

乘以 $- - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

解题步骤 9.1.3.2

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

解题步骤 9.2

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

解题步骤 9.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

解题步骤 9.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 9.4.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9.5

组合 $5$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

解题步骤 10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

解题步骤 11

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ 。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5 π}{2}$ 。

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 12

微积分学 示例

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