微积分学示例

$y = 2 e^{- x}$ ; $[0, 5]$

解题步骤 1

将 $y = 2 e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 e^{- x}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 2 e^{- x} d x)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

解题步骤 7

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

解题步骤 7.5

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = - 5$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u))$

解题步骤 9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 ((e^{- 5}) - e^{0}))$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \frac{1}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

解题步骤 12.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{5}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

解题步骤 12.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} + 2)$

解题步骤 12.5

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

解题步骤 13.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 2$

解题步骤 14.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{2}{e^{5}}$ 。

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 2$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{2}{5}$

解题步骤 15

微积分学 示例

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