微积分学示例

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 1.1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 6 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 6 \cos (x)$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $6 \cos (x)$ 。

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 2.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将 $- \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $- \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $- \sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \sin (x) = 1$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 2.5.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.5.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.4.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.5.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.5.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.5.2.6.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.5.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.5.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 2.5.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 2.5.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.8.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$\frac{π}{2} + π n$

解题步骤 4

求出让导数 $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π n - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

解题步骤 5.2

最终答案为 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 。

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

解题步骤 5.3

化简。

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

解题步骤 5.4

在 $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ 处，导数为 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π n + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 。

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

解题步骤 6.3

化简。

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

解题步骤 6.4

在 $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ 处，导数为 $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

解题步骤 8

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