微积分学示例

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $e^{x} - 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 6 x + e^{x}$ 。

$- 6 x + e^{x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x + e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 x + e^{x} = 0$

解题步骤 2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0.20448144, 2.83314789$ 。

$0.20448144, 2.83314789$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0.20448144)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.79551855$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 6$ 乘以 $- 0.79551855$ 。

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

解题步骤 5.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

解题步骤 5.2.2

将 $4.7731113$ 和 $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ 相加。

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $5.22445842$ 。

$5.22445842$

解题步骤 5.3

在 $x = - 0.79551855$ 处，导数为 $5.22445842$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0.20448144)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0.20448144)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0.20448145, 2.83314789)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1.51881472$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 6$ 乘以 $1.51881472$ 。

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

解题步骤 6.2.2

将 $- 9.11288835$ 和 $e^{1.51881472}$ 相加。

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4.54607928$ 。

$- 4.54607928$

解题步骤 6.3

在 $x = 1.51881472$ 处，导数为 $- 4.54607928$ 。由于其值为负，函数在 $(0.20448145, 2.83314789)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0.20448144, 2.83314789)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2.83314789, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.833148$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 6$ 乘以 $3.833148$ 。

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

解题步骤 7.2.2

将 $- 22.998888$ 和 $e^{3.833148}$ 相加。

$f' (3.833148) = 23.20888358$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $23.20888358$ 。

$23.20888358$

解题步骤 7.3

在 $x = 3.833148$ 处，导数为 $23.20888358$ 。由于其值为正，函数在 $(2.83314789, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2.83314789, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

递减于： $(0.20448144, 2.83314789)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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