微积分学示例

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x - 4 \sqrt{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.12

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.1.2.13.2

约去公因数。

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.13.3

重写表达式。

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2.14

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

解题步骤 2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 2.4.1

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.5

求解方程。

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解题步骤 2.5.1

将方程重写为 $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ 。

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

解题步骤 2.5.2

将 $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.2.2

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

解题步骤 2.5.3

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

解题步骤 2.5.4

化简指数。

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解题步骤 2.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 2^{2}$

解题步骤 2.5.4.1.1.2

化简。

$x = 2^{2}$

解题步骤 2.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.4.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 4$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $4$ 。

$4$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 4.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

计算指数。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.1.1.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $\frac{2}{i}$ 的分子和分母乘以 $i$ 的共轭以使分母变为实数。

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

解题步骤 6.2.1.3

乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

合并。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.3.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

解题步骤 6.2.1.3.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.1.3.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

解题步骤 6.2.1.4

移动 $\frac{2 i}{- 1}$ 中分母的负号。

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 1 \cdot (2 i)$ 重写为 $- (2 i)$ 。

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

解题步骤 6.2.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

解题步骤 6.2.1.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $1 + 2 i$ 。

$1 + 2 i$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $1 + 2 i$ 。因其包含虚数，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上不存在。

因为 $f' (x)$ 为虚数，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上不是实函数

解题步骤 7

将区间 $(0, 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.1.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 7.2.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

解题步骤 7.2.1.2.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

$- 0.41421356$

解题步骤 7.4

在 $x = 2$ 处，导数为 $- 0.41421356$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 4)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

去掉圆括号。

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

最终答案为 $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ 。

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.3

化简。

$0.1055728$

解题步骤 8.4

在 $x = 5$ 处，导数为 $0.1055728$ 。由于其值为正，函数在 $(4, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(4, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(4, \infty)$

递减于： $(0, 4)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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