微积分学示例

$\frac{10 + \sec (q)}{10 - \sec (q)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = 10 + \sec (q)$ 且 $g (q) = 10 - \sec (q)$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 + \sec (q)] - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 - \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $10 + \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [10] + \frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) (\frac{d}{d q} [10] + \frac{d}{d q} [\sec (q)]) - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 - \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $10$ 对于 $q$ 是常数，所以 $10$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) (0 + \frac{d}{d q} [\sec (q)]) - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 - \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 相加。

$\frac{(10 - \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)] - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 - \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 3

$\sec (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\sec (q) \tan (q)$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) (\sec (q) \tan (q)) - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [10 - \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $10 - \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [10] + \frac{d}{d q} [- \sec (q)]$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (10 + \sec (q)) (\frac{d}{d q} [10] + \frac{d}{d q} [- \sec (q)])}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $10$ 对于 $q$ 是常数，所以 $10$ 对 $q$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (10 + \sec (q)) (0 + \frac{d}{d q} [- \sec (q)])}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d q} [- \sec (q)]$ 相加。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [- \sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 1$ 对于 $q$ 是常数，所以 $- \sec (q)$ 对 $q$ 的导数是 $- \frac{d}{d q} [\sec (q)]$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) - (10 + \sec (q)) (- \frac{d}{d q} [\sec (q)])}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4.5

乘。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + 1 (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $10 + \sec (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + (10 + \sec (q)) \frac{d}{d q} [\sec (q)]}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 5

$\sec (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\sec (q) \tan (q)$ 。

$\frac{(10 - \sec (q)) \sec (q) \tan (q) + (10 + \sec (q)) (\sec (q) \tan (q))}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(10 \sec (q) - \sec (q) \sec (q)) \tan (q) + (10 + \sec (q)) \sec (q) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{10 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + (10 + \sec (q)) \sec (q) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{10 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + (10 \sec (q) + \sec (q) \sec (q)) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{10 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + 10 \sec (q) \tan (q) + \sec (q) \sec (q) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

合并 $10 \sec (q) \tan (q) - \sec (q) \sec (q) \tan (q) + 10 \sec (q) \tan (q) + \sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.5.1.1

将 $- \sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 和 $\sec (q) \sec (q) \tan (q)$ 相加。

$\frac{10 \sec (q) \tan (q) + 10 \sec (q) \tan (q) + 0}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.5.1.2

将 $10 \sec (q) \tan (q) + 10 \sec (q) \tan (q)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{10 \sec (q) \tan (q) + 10 \sec (q) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

解题步骤 6.5.2

将 $10 \sec (q) \tan (q)$ 和 $10 \sec (q) \tan (q)$ 相加。

$\frac{20 \sec (q) \tan (q)}{{(10 - \sec (q))}^{2}}$

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