微积分学示例

$\sin (2 \arccos (x))$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (\arccos (x)) \cos (\arccos (x))$

解题步骤 2

使用指数书写表达式。

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解题步骤 2.1

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$2 \sqrt{1 - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

解题步骤 2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 \sqrt{1^{2} - x^{2}} \cos (\arccos (x))$

解题步骤 3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cos (\arccos (x))$

解题步骤 4

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$2 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

微积分学 示例

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