微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{\ln (x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{6}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

解题步骤 1.3

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 3.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} 6 x^{5} x$

解题步骤 5

合并因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} 6 (x^{1} x^{5})$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} 6 x^{1 + 5}$

解题步骤 5.3

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$lim_{x \to \infty} 6 x^{6}$

解题步骤 6

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

微积分学示例