微积分学示例

$lim_{θ \to π} \frac{1 + \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

解题步骤 1

当 $θ$ 趋于 $π$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

解题步骤 2

当 $θ$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to π} 1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $θ$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + lim_{θ \to π} \cos (θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - \cos (θ)}$

解题步骤 5

当 $θ$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{lim_{θ \to π} 1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

解题步骤 6

计算 $1$ 的极限值，当 $θ$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - lim_{θ \to π} \cos (θ)}$

解题步骤 7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1 + \cos (lim_{θ \to π} θ)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

解题步骤 8

将 $π$ 代入所有出现 $θ$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $π$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (lim_{θ \to π} θ)}$

解题步骤 8.2

将 $π$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1 + \cos (π)}{1 - \cos (π)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{1 - \cos (0)}{1 - \cos (π)}$

解题步骤 9.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - \cos (π)}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{1 - \cos (π)}$

解题步骤 9.1.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{1 - \cos (π)}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{0}{1 - - \cos (0)}$

解题步骤 9.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{1 - (- 1 \cdot 1)}$

解题步骤 9.2.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - - 1}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{1 + 1}$

解题步骤 9.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 9.3

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2}$

解题步骤 9.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 9.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

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