微积分学示例

$f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x$

解题步骤 1.1.3.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3}}{2} x$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3} x}{2}$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.6.1

从 $- 2 \sqrt{3} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2}$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 (1)}$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- \sqrt{3} x}{1}$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $- \sqrt{3} x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) - \sqrt{3} x$

解题步骤 1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sqrt{3}) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $- \sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x \sqrt{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 1.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 1.2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \sqrt{3} - 2 \sin (x)$

解题步骤 1.2.4

重新排序项。

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 2.3

将 $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2.5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 2.7

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 2.7.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.8

求 $\sin (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 2.9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.9.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 2.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 2.9.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.9.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 2.9.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 2.9.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 2.10

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $\frac{4 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.1

对 $\frac{4 π}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(4 π)}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

对 $4 π$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.1.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

从 $16 π^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.7.4

重写表达式。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{8 π^{2}}{9}$

解题步骤 3.1.2.1.8

组合 $\frac{8 π^{2}}{9}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$ 。

$- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

解题步骤 3.2

通过将 $\frac{4 π}{3}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 中求得的点为 $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$

解题步骤 3.3

将 $\frac{5 π}{3}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.4.1

对 $\frac{5 π}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 π)}^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

对 $5 π$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} π^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 3.3.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$

解题步骤 3.3.2.1.7

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1.7.1

将 $\frac{25 π^{2}}{9}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{9 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.3.2.2

最终答案为 $- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$ 。

$- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 3.4

通过将 $\frac{5 π}{3}$ 代入 $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ 中求得的点为 $(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $4.0887902$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4.0887902) = - 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2

最终答案为 $- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

解题步骤 5.3

在 $4.0887902$ ，二阶导数为 $- 0.10848645$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $4.71238898$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4.71238898) = - 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

解题步骤 6.2

最终答案为 $- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

解题步骤 6.3

在 $4.71238898$ 处，二阶导数为 $0.26794919$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5.33598775$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (5.33598775) = - 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2

最终答案为 $- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$ 。

$- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

解题步骤 7.3

在 $5.33598775$ ，二阶导数为 $- 0.10848645$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ .

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例