微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.1.8

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.10

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 1.1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.1.11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.11.2

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.11.3

重新排序项。

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.6

在公分母上合并分子。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.2.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.8

将负号移到分数的前面。

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.9

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.10

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.2.12

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.8

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.10

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.11

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} e^{x}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.13

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.13.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.13.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.3.14

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4

化简。

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解题步骤 1.2.4.1

运用分配律。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x}) + 2 (- \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - 2 \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + \frac{- 2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.4

要将 $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.4.2.5.1

将 $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.5.2.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1 + 1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.6

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.7

将 $2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ 和 $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ 相加。

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解题步骤 1.2.4.2.7.1

移动 $e^{x}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.7.2

将 $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ 和 $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ 相加。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.8

要将 $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.9

组合 $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.12

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{2 + 2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.13

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{\frac{4}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.2.14

将 $3$ 移到 $x^{\frac{4}{3}} e^{x}$ 的左侧。

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} e^{x} + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序项。

$\frac{3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.4.1

从 $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 1.2.4.4.1.1

从 $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.1.2

从 $4 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.1.3

从 $- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.1.4

从 $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}})$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.1.5

从 $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.2

重新排序项。

$\frac{e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.3

要将 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.4

组合 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.4.6.1

从 $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.4.4.6.1.1

从 $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.1.3

从 $2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.4.6.3.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{1} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.4

化简 $2 \cdot 3 x^{1}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.6.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.7

要将 $3 x^{\frac{4}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.8

组合 $3 x^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} \frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.4.10.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.2

通过指数相加将 $x^{\frac{4}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.4.10.2.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.2.4

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{6}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.2.5

用 $6$ 除以 $3$ 。

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.4

运用分配律。

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.5

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.4.10.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.5

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2.4.7

合并。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.2.4.8

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.8.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.8.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.9

将 $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.4.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 2.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.3.3

将 $9 x^{2} + 12 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $9 x^{2} + 12 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

解题步骤 2.3.3.2

求解 $x$ 的 $9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $a = 9$ 、 $b = 12$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.3

将 $144$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.4

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.3.1.4.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

解题步骤 2.3.3.2.3.3

化简 $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.3

将 $144$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.4

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1.4.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

解题步骤 2.3.3.2.4.3

化简 $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 2 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.5

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.6

从 $\sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.7

从 $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.3

将 $144$ 和 $72$ 相加。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.4

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.5.1.4.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.4.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.3.3.2.5.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

解题步骤 2.3.3.2.5.3

化简 $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 2 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5.5

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5.6

从 $- \sqrt{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5.7

从 $- 1 (2) - (\sqrt{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{6})}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.3.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 2.3.4

最终解为使 $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0.14982991$ 代入 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0.14982991$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.14982991) = {(0.14982991)}^{\frac{2}{3}} e^{0.14982991}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $0.14982991$ 进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算。

$f (0.14982991) = 0.28209735 e^{0.14982991}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0.28209735$ 乘以 $e^{0.14982991}$ 。

$f (0.14982991) = 0.32769463$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0.32769463$ 。

$0.32769463$

解题步骤 3.2

通过将 $0.14982991$ 代入 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 中求得的点为 $(0.14982991, 0.32769463)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.14982991, 0.32769463)$

解题步骤 3.3

将 $- 1.48316324$ 代入 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 1.48316324$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} e^{- 1.48316324}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{e^{1.48316324}})$

解题步骤 3.3.2.2

组合 ${(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{1}{e^{1.48316324}}$ 。

$f (- 1.48316324) = \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$ 。

$\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

解题步骤 3.4

通过将 $- 1.48316324$ 代入 $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ 中求得的点为 $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0.14982991, 0.32769463), (- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1.48316324) \cup (- 1.48316324, 0.14982991) \cup (0.14982991, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1.48316324)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.58316324$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{e^{- 1.58316324} (9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2)}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 1.58316324}$ 移动到分母。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $- 1.58316324$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 \cdot 2.50640586 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $9$ 乘以 $2.50640586$ 。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $12$ 乘以 $- 1.58316324$ 。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 - 18.99795897 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.2.4

从 $22.55765281$ 中减去 $18.99795897$ 。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{3.55969384 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.2.5

从 $3.55969384$ 中减去 $2$ 。

$f'' (- 1.58316324) = \frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$ 。

$\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

解题步骤 5.3

在 $- 1.58316324$ 处，二阶导数为 $0.01928428$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 1.48316324)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1.48316324)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1.48316324, 0.14982991)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.66666666$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{e^{- 0.66666666} (9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2)}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 0.66666666}$ 移动到分母。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

对 $- 0.66666666$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 \cdot 0.\overline{4} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $9$ 乘以 $0.\overline{4}$ 。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $12$ 乘以 $- 0.66666666$ 。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 - 8 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.2.4

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 4 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.2.5

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 0.66666666) = - \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$ 。

$- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

解题步骤 6.3

在 $- 0.66666666$ ，二阶导数为 $- 0.58771588$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 1.48316324, 0.14982991)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1.48316324, 0.14982991)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0.14982991, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.24982991$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 {(0.24982991)}^{2} + 12 (0.24982991) - 2)}{9 {(0.24982991)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.24982991$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 \cdot 0.06241498 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0.06241498$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $12$ 乘以 $0.24982991$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 2.99795897 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $0.56173487$ 和 $2.99795897$ 相加。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (3.55969384 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.5

从 $3.55969384$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.2

通过乘以项来化简。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $0.24982991$ 进行 $\frac{4}{3}$ 次方运算。

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot 0.15734728}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $e^{0.24982991}$ 乘以 $1.55969384$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{9 \cdot 0.15734728}$

解题步骤 7.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将 $9$ 乘以 $0.15734728$ 。

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{1.41612555}$

解题步骤 7.2.2.3.2

用 $2.00234594$ 除以 $1.41612555$ 。

$f'' (0.24982991) = 1.41396073$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1.41396073$ 。

$1.41396073$

解题步骤 7.3

在 $0.24982991$ 处，二阶导数为 $1.41396073$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0.14982991, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0.14982991, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$ 。

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例