微积分学示例

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

计算 $\cos (\frac{3 π}{5})$ 。

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

解题步骤 1.2

计算 $\sin (\frac{3 π}{5})$ 。

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

解题步骤 1.3

将 $0.95105651$ 移到 $i$ 的左侧。

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $- 0.30901699$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

对 $- 0.30901699$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.3

将 $3$ 乘以 $0.0954915$ 。

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.4

将 $0.95105651$ 乘以 $0.2864745$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 0.30901699$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.6

对 $0.95105651 i$ 运用乘积法则。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.7

对 $0.95105651$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.8

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.9

乘以 $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

将 $0.90450849$ 乘以 $- 1$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.9.2

将 $- 0.92705098$ 乘以 $- 0.90450849$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

解题步骤 3.1.10

对 $0.95105651 i$ 运用乘积法则。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

解题步骤 3.1.11

对 $0.95105651$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

解题步骤 3.1.12

因式分解出 $i^{2}$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 3.1.13

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 3.1.14

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

解题步骤 3.1.15

将 $- 1$ 乘以 $0.8602387$ 。

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

解题步骤 3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 0.02950849$ 和 $0.83852549$ 相加。

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

解题步骤 3.2.2

从 $0.27245344 i$ 中减去 $0.8602387 i$ 。

$0.80901699 - 0.58778525 i$

解题步骤 4

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 5

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 6

代入 $a = 0.80901699$ 和 $b = - 0.58778525$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

解题步骤 7

求 $| z |$ 。

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解题步骤 7.1

对 $- 0.58778525$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

解题步骤 7.2

对 $0.80901699$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

解题步骤 7.3

将 $0.3454915$ 和 $0.65450849$ 相加。

$| z | = \sqrt{1}$

解题步骤 7.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

解题步骤 7.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 1$

解题步骤 8

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

解题步骤 9

因为 $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- \frac{π}{5}$ 。

$θ = - \frac{π}{5}$

解题步骤 10

代入 $θ = - \frac{π}{5}$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$

微积分学 示例

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