微积分学示例

$\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

因为 $\frac{15}{13}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{15}{13} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

解题步骤 2.1.10

将 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{15}{13}$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 15}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.11

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.11.1

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$f' (x) = \frac{30}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.11.2

将 $13$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{30}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.12

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (10)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.13.1

从 $39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (10)}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.13.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 \cdot 10}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.13.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

解题步骤 2.1.14

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))$

解题步骤 2.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))$

解题步骤 2.1.16

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.17

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.17.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 2.1.17.2

组合 $2$ 和 $\frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

解题步骤 2.1.17.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$f' (x) = \frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

解题步骤 2.1.17.4

组合 $\frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{20}{13}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{20}{13} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

将 ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.3

将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 25$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用 $x^{2} - 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.9

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.9.4

组合 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.10

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.12

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.13

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.13.4

组合 $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.19

要将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.20

组合 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.21

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.22

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.22.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.22.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.22.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.22.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.23

化简 ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.24

将 $3$ 移到 $x^{2} - 25$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.25

将 $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.26

将 $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.27.1

移动 ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.2.27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.27.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 2.2.27.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.28

将 $\frac{20}{13}$ 乘以 $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{13 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.2.29

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.30.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2}) + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.30.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.30.3.1.1

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.3.1.2

乘以 $20 (3 \cdot - 25)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.30.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 25$ 。

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 \cdot - 75 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.3.1.2.2

将 $20$ 乘以 $- 75$ 。

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $20$ 。

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 - 40 x^{2}}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.3.2

从 $60 x^{2}$ 中减去 $40 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.4

从 $20 x^{2} - 1500$ 中分解出因数 $20$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.30.4.1

从 $20 x^{2}$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2}) - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.4.2

从 $- 1500$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} + 20 \cdot - 75}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.2.30.4.3

从 $20 x^{2} + 20 \cdot - 75$ 中分解出因数 $20$ 。

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$20 (x^{2} - 75) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $20 (x^{2} - 75) = 0$ 中的每一项除以 $20$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

将 $20 (x^{2} - 75) = 0$ 中的每一项都除以 $20$ 。

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

解题步骤 3.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1

约去 $20$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

解题步骤 3.3.1.2.1.2

用 $x^{2} - 75$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 75 = \frac{0}{20}$

解题步骤 3.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $20$ 。

$x^{2} - 75 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $75$ 。

$x^{2} = 75$

解题步骤 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

解题步骤 3.3.4

化简 $\pm \sqrt{75}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

解题步骤 3.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $5 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $5 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(5^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.3.5

计算指数。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

从 $75$ 中减去 $25$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.1.2.2.2

组合 $\frac{15}{13}$ 和 $50^{\frac{2}{3}}$ 。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ 。

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

解题步骤 4.2

通过将 $5 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 中求得的点为 $(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

解题步骤 4.3

将 $- 5 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 5 \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

计算指数。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

从 $75$ 中减去 $25$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

组合 $\frac{15}{13}$ 和 $50^{\frac{2}{3}}$ 。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ 。

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

解题步骤 4.4

通过将 $- 5 \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ 中求得的点为 $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 8.76025403$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 8.76025403$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $76.7420508$ 中减去 $75$ 。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $- 8.76025403$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $76.7420508$ 中减去 $25$ 。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $51.7420508$ 进行 $\frac{4}{3}$ 次方运算。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

将 $20$ 乘以 $1.7420508$ 。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $39$ 乘以 $192.80791167$ 。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

解题步骤 6.2.3.3

用 $34.84101615$ 除以 $7519.50855551$ 。

$f'' (- 8.76025403) = 0.00463341$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $0.00463341$ 。

$0.00463341$

解题步骤 6.3

在 $- 8.76025403$ 处，二阶导数为 $0.00463341$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{20 ({(0)}^{2} - 75)}{39 {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{20 (0 - 75)}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $0$ 中减去 $75$ 。

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $0$ 中减去 $25$ 。

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.3

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.3.1

将 $20$ 乘以 $- 75$ 。

$f'' (0) = \frac{- 1500}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.3.2

从 $- 1500$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.4

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.4.1

从 $39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 7.2.4.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 500}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 7.2.4.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{- 500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 7.3

在 $0$ ，二阶导数为 $- 0.52614644$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(5 \sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

使用表达式中的 $8.76025403$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

对 $8.76025403$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 8.2.1.2

从 $76.7420508$ 中减去 $75$ 。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

对 $8.76025403$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $76.7420508$ 中减去 $25$ 。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $51.7420508$ 进行 $\frac{4}{3}$ 次方运算。

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

解题步骤 8.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.3.1

将 $20$ 乘以 $1.7420508$ 。

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $39$ 乘以 $192.80791167$ 。

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

解题步骤 8.2.3.3

用 $34.84101615$ 除以 $7519.50855551$ 。

$f'' (8.76025403) = 0.00463341$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $0.00463341$ 。

$0.00463341$

解题步骤 8.3

在 $8.76025403$ 处，二阶导数为 $0.00463341$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(5 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(5 \sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例