微积分学示例

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $a^{2} \cos (2 θ)$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 1.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.2

重新排序。

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解题步骤 1.1.2.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $a^{2}$ 的左侧。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

解题步骤 1.1.3

将 $- 1 a^{2}$ 重写为 $- a^{2}$ 。

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

解题步骤 2

由于 $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ，替换 $\cos (θ)$ 为 $\frac{x}{r}$ 。

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

解题步骤 3

由于 $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，替换 $r^{2}$ 为 $x^{2} + y^{2}$ 并替换 $r$ 为 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 。

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

解题步骤 4

书写为标准形式。

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解题步骤 4.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

解题步骤 4.1.2

在等式两边都加上 $a^{2}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2

化简 $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.2

对 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.3

对 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6

将 ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2.6.5

化简。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

对 $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ 运用乘积法则。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 运用乘积法则。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ 重写为 $x^{2} + y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.4.1

约去公因数。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4.4.2

重写表达式。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.4.5

化简。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.5

约去 $x^{2} + y^{2}$ 和 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.5.1

从 $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1.5.2.1

从 ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + y^{2}$ 。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.5.2.2

约去公因数。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.5.2.3

重写表达式。

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.6

乘以 $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1.6.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.6.2

组合 $a^{2}$ 和 $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.7

去掉多余的括号。

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.8

将 $- 2$ 移到 $a^{2}$ 的左侧。

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4

从 $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $- 2 a^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2

从 $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.5

要将 $y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7

化简分子。

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解题步骤 4.2.7.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.7.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.4

化简。

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解题步骤 4.2.7.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.7.4.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.4.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.5

将 $y^{2} x^{2}$ 和 $x^{2} y^{2}$ 相加。

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解题步骤 4.2.7.5.1

将 $y^{2}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.7.5.2

将 $x^{2} y^{2}$ 和 $x^{2} y^{2}$ 相加。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

解题步骤 4.2.8

要将 $a^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 4.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 4.2.10

化简分子。

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解题步骤 4.2.10.1

运用分配律。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 4.2.10.2

将 $- 2 x^{2} a^{2}$ 和 $a^{2} x^{2}$ 相加。

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解题步骤 4.2.10.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 4.2.10.2.2

将 $- 2 a^{2} x^{2}$ 和 $a^{2} x^{2}$ 相加。

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

解题步骤 5

微积分学 示例

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