微积分学示例

$e^{4 x}$

解题步骤 1

将 $e^{4 x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{4 x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x} (4 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} \cdot 4$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f' (x) = 4 e^{4 x}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 e^{4 x}$ 。

$4 e^{4 x}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 e^{4 x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 e^{4 x} = 0$

解题步骤 3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4

$4 e^{4 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

不存在使导数 $f' (x) = 4 e^{4 x}$ 等于 $0$ 或未定义的点。检查函数 $f (x) = e^{4 x}$ 的为递增还是递减的区间为 $(- \infty, \infty)$ 。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 6

将任意数（例如，从区间 $(- \infty, \infty)$ 中的 $1$ ）代入导数 $f' (x) = 4 e^{4 x}$ ，从而判断结果是正数还是负数。如果结果是负数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递减。如果结果是正数，则图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 4 e^{4 (1)}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = 4 e^{4}$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $4 e^{4}$ 。

$4 e^{4}$

解题步骤 7

将 $1$ 代入 $f' (x) = 4 e^{4 x}$ 得到的结果为 $4 e^{4}$ ，因为是正数，所以其图像在区间 $(- \infty, \infty)$ 递增。

因为 $4 e^{4 x} > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

在区间 $(- \infty, \infty)$ 上递增意味着该函数恒为递增。

总是递增

解题步骤 9

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