微积分学示例

$- \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $- \cos^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

解题步骤 2.1.4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.1.6

化简。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 2.1.6.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

解题步骤 2.1.6.3

使用正弦倍角公式。

$f' (x) = \sin (2 x)$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\sin (2 x)$ 。

$\sin (2 x)$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\sin (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\sin (2 x) = 0$

解题步骤 3.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$2 x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 x = 0$

解题步骤 3.4

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$2 x = π - 0$

解题步骤 3.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

化简。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 x = π + 0$

解题步骤 3.6.1.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$2 x = π$

解题步骤 3.6.2

将 $2 x = π$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $2 x = π$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7

求 $\sin (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 3.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 3.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.8

$\sin (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.9

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{π n}{2}$ 。

$\frac{π n}{2}$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = \sin (2 x)$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = - \cos^{2} (x)$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ 。

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $\frac{π n}{2} - 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 6.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

约去公因数。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 6.2.2.2

重写表达式。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 6.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\sin (π n - 2)$ 。

$\sin (π n - 2)$

解题步骤 6.3

在 $x = \frac{π n}{2} - 1$ 处，导数为 $\sin (π n - 2)$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{π n}{2})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{π n}{2} + 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

运用分配律。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

约去公因数。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.2.2

重写表达式。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\sin (π n + 2)$ 。

$\sin (π n + 2)$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{π n}{2} + 1$ 处，导数为 $\sin (π n + 2)$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{π n}{2}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{π n}{2}, \infty)$

递减于： $(- \infty, \frac{π n}{2})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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