微积分学示例

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 1

将 $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.6.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.7

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.8

组合 $2$ 和 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.2.9

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

解题步骤 2.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.3.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

解题步骤 2.1.3.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.3.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 2.1.3.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 2.1.3.9

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 2.1.3.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

解题步骤 3.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = 0, 8$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0, 8$ 。

$0, 8$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1

约去公因数。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.3.2

重写表达式。

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

解题步骤 6.2.2.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.8.1

约去公因数。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

解题步骤 6.2.2.8.2

重写表达式。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 6.2.2.9

计算指数。

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 6.2.2.10

将 $- 20$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $10$ 和 $20$ 相加。

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $30$ 除以 $3$ 。

$f' (- 1) = 10$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $10$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 8)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.2

去掉圆括号。

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 7.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 8)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 8)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(8, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 8.2.2

去掉圆括号。

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 8.3

在 $x = 9$ 处，导数为 $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(8, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(8, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0)$

递减于： $(0, 8), (8, \infty)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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