微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (2 x)$

解题步骤 1

将 $\sin (x) \ln (2 x)$ 重写为 $\frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (2 x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (2 x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.5.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.8

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 重写为 $\sin^{- 1} (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}$

解题步骤 2.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.9.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 2.3.10

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}$

解题步骤 2.3.11.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}$

解题步骤 2.6

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}$

解题步骤 2.7

分离分数。

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 2.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{\sin (x)}{x} \tan (x))$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{\sin (x)}{x}$ 和 $\tan (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}$

解题步骤 3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.5.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.5.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

重新排序项。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.3.5.2.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.2

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.3

一的任意次幂都为一。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.4

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.5

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.3.5.2.5.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.5.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5.2.5.3

约去公因数。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}$

解题步骤 4.4

合并项。

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解题步骤 4.4.1

要将 $\sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}$

解题步骤 4.4.2

在公分母上合并分子。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}$

解题步骤 4.5

用 $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 除以 $1$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.6

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}$

解题步骤 5.8

使用极限幂法则把 $\cos^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}$

解题步骤 5.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

解题步骤 6.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.4

一的任意次幂都为一。

$- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{0}{\cos^{2} (0)}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{0}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{0}{1}$

解题步骤 7.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- 0$

解题步骤 7.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

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