微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 81}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 81} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2}$ 和 $81$ 重新排序。

$\int \frac{1}{81 + x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\int \frac{1}{9^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{9^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{9} \arctan (\frac{x}{9}) + C$ 。

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{x}{9}) + C$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $\arctan (\frac{x}{9})$ 。

$\frac{\arctan (\frac{x}{9})}{9} + C$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\arctan (\frac{x}{9})}{9} + C$ 重写为 $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$ 。

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 81}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{9} x) + C$

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