微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 25})$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 25$ 的左侧。

$f' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

解题步骤 1.7

组合 $4$ 和 $\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{4 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4

化简分子。

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解题步骤 1.8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.8.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.8.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.8.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 2}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.3

将 $2$ 乘以 $- 25$ 。

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (- 50 x) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.4

将 $- 50$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.1.5

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.2

合并 $8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.8.4.2.1

从 $8 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{- 200 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4.2.2

将 $- 200 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.5

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.8.6

化简分母。

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解题步骤 1.8.6.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.8.6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f' (x) = - \frac{200 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

解题步骤 1.8.6.3

对 $(x + 5) (x - 5)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 200$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 200 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 ${(x + 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2}) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 5$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 移到 ${(x + 5)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) \frac{d}{d x} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + 0) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5

化简表达式。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) \cdot 1 + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 5$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

求微分。

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解题步骤 2.8.1

将 $2$ 移到 ${(x - 5)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 \cdot ({(x - 5)}^{2} (x + 5)) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + 0))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5

合并分数。

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解题步骤 2.8.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) \cdot 1)}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.3

组合 $- 200$ 和 $\frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(200) ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

对 ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)) - x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.1

从 $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 2.9.4.1.1

从 $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.2

从 $200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)))$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.3

从 $200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.4

从 $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5)))$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.5

从 $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))$ 中分解出因数 $200 (x + 5) (x - 5)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5)) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2

合并指数。

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解题步骤 2.9.4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x (x - 5) + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.3.2.1

按照 $x \cdot - 5$ 和 $5 x$ 重新排列因数。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.3.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.4

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.6

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.7

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.9

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.4

合并 $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.4.1

将 $- 10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.4.2

将 $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.5

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- x^{2} - 25 - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6

从 $- x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5

合并项。

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解题步骤 2.9.5.1

将 ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.2

将 ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.9.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.3

约去 $x + 5$ 和 ${(x + 5)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.5.3.1

从 $200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.5.3.2.1

从 ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

解题步骤 2.9.5.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

解题步骤 2.9.5.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.4

约去 $x - 5$ 和 ${(x - 5)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.5.4.1

从 $200 (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.5.4.2.1

从 ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

解题步骤 2.9.5.4.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

解题步骤 2.9.5.4.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{200 (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.7

将 $- 25$ 重写为 $- 1 (25)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.8

从 $- (3 x^{2}) - 1 (25)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.9

将 $- (3 x^{2} + 25)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + 25)$ 。

$f'' (x) = - \frac{200 (- 1 (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 2.9.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}})$

解题步骤 2.9.12

将 $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ 。

$\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

微积分学 示例

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