微积分学示例

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ 。

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 4 x^{2} - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x^{2} - 3$ 。

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x^{2} - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

解题步骤 3.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

解题步骤 3.8

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

解题步骤 3.9

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

解题步骤 3.10

将 $16$ 乘以 $- 12$ 。

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

运用分配律。

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

解题步骤 4.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $4$ 乘以 $- 192$ 。

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

解题步骤 4.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

解题步骤 4.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

解题步骤 4.3.5

将 $- 192$ 乘以 $- 3$ 。

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

解题步骤 5

计算在 $x = 1$ 处的导数。

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

一的任意次幂都为一。

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

解题步骤 6.1.2

将 $- 768$ 乘以 $1$ 。

$- 768 + 576 (1) + 6$

解题步骤 6.1.3

将 $576$ 乘以 $1$ 。

$- 768 + 576 + 6$

解题步骤 6.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $- 768$ 和 $576$ 相加。

$- 192 + 6$

解题步骤 6.2.2

将 $- 192$ 和 $6$ 相加。

$- 186$

微积分学 示例

微积分学示例