微积分学示例

$f'' (x) = x^{6} - 4 x^{4} + x + 1$

解题步骤 1

通过计算导数 $f'' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{6} d x + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

解题步骤 4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 \int x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

解题步骤 9

化简。

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + x + C$

解题步骤 10

重新排序项。

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

解题步骤 11

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (x) = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

解题步骤 12

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 13

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{7} x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 14

由于 $\frac{1}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{7}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} \int x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{7}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{8} x^{8}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 16

由于 $- \frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{4}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} \int x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 17

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 18

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 19

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int C d x$

解题步骤 20

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int C d x$

解题步骤 21

应用常数不变法则。

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + C x + C$

解题步骤 22

化简。

$\frac{x^{8}}{56} - \frac{2 x^{6}}{15} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C x + C$

解题步骤 23

重新排序项。

$\frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

解题步骤 24

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = \frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

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