微积分学示例

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f'' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

解题步骤 4

由于 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $30$ 移到积分外。

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

解题步骤 6

由于 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 12$ 移到积分外。

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $- 12$ 和 $\frac{x^{3}}{3}$ 。

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

解题步骤 8.2.3

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

从 $- 12 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

解题步骤 8.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

解题步骤 8.2.3.2.2

约去公因数。

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

解题步骤 8.2.3.2.3

重写表达式。

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

解题步骤 8.2.3.2.4

用 $- 4 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

解题步骤 9

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

解题步骤 10

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 11

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 12

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 14

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 15

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 16

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

解题步骤 17

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

解题步骤 18

应用常数不变法则。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

化简。

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解题步骤 19.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

解题步骤 19.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

解题步骤 19.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

解题步骤 19.2

化简。

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

解题步骤 20

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

微积分学 示例

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