微积分学示例

$f'' (x) = 32 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f'' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f' (x)$ 。

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 32 x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

解题步骤 3

由于 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $32$ 移到积分外。

$32 \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

解题步骤 5

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

解题步骤 7

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $8$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 9.2.3

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

解题步骤 9.2.3.2.4

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

解题步骤 10

函数 $f'$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f' (x) = 8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

解题步骤 11

通过计算导数 $f' (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $f (x)$ 。

$f (x) = \int f' (x) d x$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 8 x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 13

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$8 \int x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 14

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 15

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 16

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 17

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

解题步骤 18

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

解题步骤 19

应用常数不变法则。

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

化简。

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解题步骤 20.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

解题步骤 20.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

解题步骤 20.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

解题步骤 20.2

化简。

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

解题步骤 22

函数 $f$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$f (x) = \frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

微积分学 示例

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