微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

解题步骤 1.2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, e + y = 0$

解题步骤 1.2.2.2

由于 $x, e$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 1.2.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

$1$ 列出各数的质因数。

解题步骤 1.2.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.2.2.5

$1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1 + y = 0$

解题步骤 1.2.2.6

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x = x$

解题步骤 1.2.2.7

$x^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x + y = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{1}{e} x$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $x$ 。

$1 = \frac{x}{e}$

解题步骤 1.2.4

求解方程。

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解题步骤 1.2.4.1

将方程重写为 $\frac{x}{e} = 1$ 。

$\frac{x}{e} = 1$

解题步骤 1.2.4.2

等式两边同时乘以 $e$ 。

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.3.1.1

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.3.1.1.1

约去公因数。

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3.1.1.2

重写表达式。

$x = e \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.2.1

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$x = e$

解题步骤 1.3

代入 $e$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(e, 0)$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $1$ 和 $e$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

解题步骤 3.2

从 $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

解题步骤 3.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

解题步骤 3.5

应用常数不变法则。

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

解题步骤 3.6

化简答案。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ 和 $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ 。

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

解题步骤 3.6.2

代入并化简。

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解题步骤 3.6.2.1

计算 $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2.2

化简。

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解题步骤 3.6.2.2.1

组合 $e$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2.2.2

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.2.1

约去公因数。

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2.2.2.2

重写表达式。

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

解题步骤 3.6.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1.1

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.7.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.7.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.7.1.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.7.1.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.7.1.4

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{e}$ 。

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

解题步骤 3.7.1.5

乘以 $- - \frac{1}{e}$ 。

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解题步骤 3.7.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

解题步骤 3.7.1.5.2

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 + \frac{1}{e}$

解题步骤 3.7.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{e}$ 相加。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 4

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

解题步骤 5

用积分求 $e$ 和 $e^{3}$ 之间的面积。

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解题步骤 5.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

解题步骤 5.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ 。

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

解题步骤 5.4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

解题步骤 5.5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

解题步骤 5.6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

解题步骤 5.7

应用常数不变法则。

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

解题步骤 5.8

化简答案。

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解题步骤 5.8.1

代入并化简。

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解题步骤 5.8.1.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e^{3}$ 处和在 $e$ 处的值。

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

解题步骤 5.8.1.2

计算 $\frac{1}{e} x$ 在 $e^{3}$ 处和在 $e$ 处的值。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3

化简。

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解题步骤 5.8.1.3.1

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $e^{3}$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.2

约去 $e^{3}$ 和 $e$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1.3.2.1

从 $e^{3}$ 中分解出因数 $e$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.8.1.3.2.2.1

乘以 $1$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.2.2.2

约去公因数。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.2.2.3

重写表达式。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.2.2.4

用 $e^{2}$ 除以 $1$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

解题步骤 5.8.1.3.3

组合 $e$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

解题步骤 5.8.1.3.4

约去 $e$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1.3.4.1

约去公因数。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

解题步骤 5.8.1.3.4.2

重写表达式。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.8.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3

化简。

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解题步骤 5.8.3.1

$e^{3}$ 约为 $20.08553692$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.2

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.3

约去 $e^{3}$ 和 $e$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.3.3.1

从 $e^{3}$ 中分解出因数 $e$ 。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.8.3.3.2.1

乘以 $1$ 。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.3.2.2

约去公因数。

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.3.2.3

重写表达式。

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.3.2.4

用 $e^{2}$ 除以 $1$ 。

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.4

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 + e^{2} - 1$

解题步骤 5.8.3.8

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$e^{2} - 3$

解题步骤 6

微积分学 示例

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