微积分学示例

$\sum_{1}^{3} \frac{1}{2} j (2 j^{2} + 3 j + 5)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} \cdot (j (2 j^{2}) + j (3 j) + j \cdot 5)$

解题步骤 1.2

化简。

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解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + j (3 j) + j \cdot 5)$

解题步骤 1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + j \cdot 5)$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 移到 $j$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j \cdot j^{2} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

移动 $j^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $j^{2}$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

对 $j$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (j^{2} j^{1}) + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{2 + 1} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j \cdot j + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3.2

通过指数相加将 $j$ 乘以 $j$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

移动 $j$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 (j \cdot j) + 5 \cdot j)$

解题步骤 1.3.2.2

将 $j$ 乘以 $j$ 。

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 \cdot j)$

$\frac{1}{2} \cdot (2 j^{3} + 3 j^{2} + 5 j)$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $2 j^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (j^{3})) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 j^{3}) + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5.1.3

重写表达式。

$j^{3} + \frac{1}{2} (3 j^{2}) + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5.2

乘以 $\frac{1}{2} (3 j^{2})$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$j^{3} + \frac{3}{2} j^{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5.2.2

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $j^{2}$ 。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{1}{2} (5 j)$

解题步骤 1.5.3

乘以 $\frac{1}{2} (5 j)$ 。

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解题步骤 1.5.3.1

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5}{2} j$

解题步骤 1.5.3.2

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $j$ 。

$j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

解题步骤 1.6

重写该总和。

$\sum_{j = 1}^{3} j^{3} + \frac{3 j^{2}}{2} + \frac{5 j}{2}$

解题步骤 2

度数为 $3$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

解题步骤 3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{1}{2} + 5) (\frac{3^{2} {(3 + 1)}^{2}}{4})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{3^{2} \cdot 4^{2}}{4}$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 4^{2}}{4}$

解题步骤 4.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{9 \cdot 16}{4}$

解题步骤 4.2

将 $9$ 乘以 $16$ 。

$(\frac{1}{2} + 5) \frac{144}{4}$

解题步骤 4.3

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) \frac{144}{4}$

解题步骤 4.4

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$(\frac{1}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) \frac{144}{4}$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 5 \cdot 2}{2} \cdot \frac{144}{4}$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + 10}{2} \cdot \frac{144}{4}$

解题步骤 4.6.2

将 $1$ 和 $10$ 相加。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{144}{4}$

解题步骤 4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

从 $144$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 (72)}{4}$

解题步骤 4.7.2

约去公因数。

$\frac{11}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{4}$

解题步骤 4.7.3

重写表达式。

$11 (\frac{72}{4})$

解题步骤 4.8

组合 $11$ 和 $\frac{72}{4}$ 。

$\frac{11 \cdot 72}{4}$

解题步骤 4.9

化简表达式。

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解题步骤 4.9.1

将 $11$ 乘以 $72$ 。

$\frac{792}{4}$

解题步骤 4.9.2

用 $792$ 除以 $4$ 。

$198$

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