微积分学示例

$f (x) = e^{x}$ ; $[- 1, 4]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$e^{x} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

无解

无解

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1}^{4} e^{x} d x - \int_{- 1}^{4} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $- 1$ 和 $4$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

用积分求 $- 1$ 和 $4$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{4} 0 - (e^{x}) d x$

解题步骤 3.1.2

从 $0$ 中减去 $e^{x}$ 。

$\int_{- 1}^{4} - e^{x} d x$

解题步骤 3.1.3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{- 1}^{4} e^{x} d x$

解题步骤 3.1.4

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- (e^{x}]_{- 1}^{4})$

解题步骤 3.1.5

计算 $e^{x}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$- (e^{4} - e^{- 1})$

解题步骤 3.1.6

化简。

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解题步骤 3.1.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- (e^{4} - \frac{1}{e})$

解题步骤 3.1.6.2

运用分配律。

$- e^{4} - - \frac{1}{e}$

解题步骤 3.1.6.3

乘以 $- - \frac{1}{e}$ 。

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解题步骤 3.1.6.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- e^{4} + 1 \frac{1}{e}$

解题步骤 3.1.6.3.2

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $1$ 。

$- e^{4} + \frac{1}{e}$

$- e^{4} + \frac{1}{e}$

$- e^{4} + \frac{1}{e}$

$- e^{4} + \frac{1}{e}$

解题步骤 3.2

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{4} e^{x} - (0) d x$

解题步骤 3.3

从 $e^{x}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{- 1}^{4} e^{x} d x$

解题步骤 3.4

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$e^{x}]_{- 1}^{4}$

解题步骤 3.5

计算 $e^{x}$ 在 $4$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$e^{4} - e^{- 1}$

解题步骤 3.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{4} - \frac{1}{e}$

$e^{4} - \frac{1}{e}$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$