微积分学示例

$x = 4 t - 1$ , $y = 2 t^{2} + 3 t - 4$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = 4 t - 1$

解题步骤 2

将方程重写为 $4 t - 1 = x$ 。

$4 t - 1 = x$

解题步骤 3

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 t = x + 1$

解题步骤 4

将 $4 t = x + 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $4 t = x + 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 t}{4} = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 5

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = 2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6

化简 $2 {(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$ 。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 ${(\frac{x}{4} + \frac{1}{4})}^{2}$ 重写为 $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ 。

$y = 2 ((\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

运用分配律。

$y = 2 (\frac{x}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.2.2

运用分配律。

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} (\frac{x}{4} + \frac{1}{4})) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.2.3

运用分配律。

$y = 2 (\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.1.1

乘以 $\frac{x}{4} \cdot \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.1.1

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{x}{4}$ 。

$y = 2 (\frac{x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 2 (\frac{x^{1} x}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 2 (\frac{x^{1} x^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 2 (\frac{x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.2

乘以 $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.2.1

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.3

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{x}{4}$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{4 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.3.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.4

乘以 $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 6.1.3.1.4.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4 \cdot 4}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.1.4.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{16} + \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.3.2

将 $\frac{x}{16}$ 和 $\frac{x}{16}$ 相加。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{16} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 (8)} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.4.2

约去公因数。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.4.3

重写表达式。

$y = 2 (\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{8} + \frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.5

运用分配律。

$y = 2 \frac{x^{2}}{16} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6

化简。

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解题步骤 6.1.6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 (8)} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.1.2

约去公因数。

$y = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.1.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{8} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 (4)} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{8} + 2 \frac{x}{2 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 (\frac{1}{16}) + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.6.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 (8)} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.3.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.6.3.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 (\frac{x}{4} + \frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.7

运用分配律。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + 3 \frac{x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.8

组合 $3$ 和 $\frac{x}{4}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 6.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} - 4$

解题步骤 6.2

化简项。

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解题步骤 6.2.1

在公分母上合并分子。

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{x + 3 x + 3}{4}$

解题步骤 6.2.2

将 $x$ 和 $3 x$ 相加。

$y = - 4 + \frac{x^{2}}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.3

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} - 4 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.5

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 4 \cdot 8 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.6

化简分子。

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解题步骤 6.6.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 32 + 1}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.6.2

将 $- 32$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.7

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{31}{8} + \frac{4 x + 3}{4}$

解题步骤 6.8

要将 $\frac{4 x + 3}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{4 x + 3}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{31}{8}$

解题步骤 6.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 6.9.1

将 $\frac{4 x + 3}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{31}{8}$

解题步骤 6.9.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{(4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

解题步骤 6.10

化简项。

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解题步骤 6.10.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2}{8} - \frac{31}{8}$

解题步骤 6.10.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{x^{2} + (4 x + 3) \cdot 2 - 31}{8}$

解题步骤 6.11

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1

运用分配律。

$y = \frac{x^{2} + 4 x \cdot 2 + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

解题步骤 6.11.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 3 \cdot 2 - 31}{8}$

解题步骤 6.11.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x^{2} + 8 x + 6 - 31}{8}$

解题步骤 6.12

从 $6$ 中减去 $31$ 。

$y = \frac{x^{2} + 8 x - 25}{8}$

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