微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.5.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.5

组合 $\frac{6}{2}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.6

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.3.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.6.2.2

约去公因数。

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.6.2.3

重写表达式。

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.3.6.2.4

用 $3 x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $x^{2} + 3 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} + 3 x + 8$ 。

$x^{2} + 3 x + 8$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} + 3 x + 8 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 8$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.5.5

从 $i \sqrt{23}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{2}$

解题步骤 2.5.6

从 $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{2}$

解题步骤 2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $9$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $- 23$ 重写为 $- 1 (23)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (23)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.6.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.6.5

从 $- i \sqrt{23}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{2}$

解题步骤 2.6.6

从 $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{2}$

解题步骤 2.6.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

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