微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

解题步骤 1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.3.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 1.3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

解题步骤 1.3.4

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.3.5

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x + 5$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x + 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $3 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{3 x + 5}$ 和 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

解题步骤 3.10

根据加法法则， $\ln (7 x + 3) + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)]$ 。

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解题步骤 3.11.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 7 x + 3$ 。

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解题步骤 3.11.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x + 3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.1.3

使用 $7 x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.2

根据加法法则， $7 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.6

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.7

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.11.8

组合 $\frac{1}{7 x + 3}$ 和 $7$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 3.12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + 0}$

解题步骤 3.13

将 $\frac{7}{7 x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{7 x + 3}{7}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{3}{3 x + 5}$ 乘以 $\frac{7 x + 3}{7}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (7 x + 3)}{(3 x + 5) \cdot 7}$

解题步骤 5.2

因为项 $\frac{3}{7}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 3}{3 x + 5}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.1.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.5

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 7.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

解题步骤 9.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

解题步骤 9.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 0}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 11.1.2

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 0}$

解题步骤 11.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

解题步骤 11.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

解题步骤 11.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{7} \cdot 7$

解题步骤 11.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 11.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{7} \cdot 7$

解题步骤 11.4.2

重写表达式。

$1$

微积分学 示例

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