微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ 的极限值。

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

解题步骤 2.2

将 $\cot (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

解题步骤 4.1.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

解题步骤 4.1.1.3

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 4.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 4.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 4.1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

解题步骤 4.1.3.3

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

解题步骤 4.1.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

解题步骤 4.1.6

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

解题步骤 4.1.6.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

解题步骤 4.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

解题步骤 4.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ 趋于 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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