微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ ; $x = 3$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 1 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $x^{2} - 1$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 1$

解题步骤 2

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = {(3)}^{2} - 1$

解题步骤 3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3) = 9 - 1$

解题步骤 4

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$f' (3) = 8$

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