微积分学示例

$y = 2 x^{2} + 1$ , $y = 2 x + 9$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = 2 x + 9$ 和 $g (x) = 2 x^{2} + 1$ 时， $V = π \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${(2 x + 9)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 9) (2 x + 9)$ 。

$V = (2 x + 9) (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 9) (2 x + 9)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$V = 2 x (2 x + 9) + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

运用分配律。

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$V = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$V = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 4 x^{2} + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$V = 4 x^{2} + 18 x + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.1.6

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $18 x$ 和 $18 x$ 相加。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1))$

解题步骤 2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

运用分配律。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1))$

解题步骤 2.1.5.2

运用分配律。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1))$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.5

将 $2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.6.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.6.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.7

运用分配律。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4}) - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.8

化简。

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解题步骤 2.1.8.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.8.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

合并 $4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} + 0 - 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $36 x + 81 - 4 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} - 1$

解题步骤 2.2.2

从 $81$ 中减去 $1$ 。

$V = 36 x - 4 x^{4} + 80$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 36 x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 4

由于 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $36$ 移到积分外。

$V = π (36 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$V = π (36 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 7

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2.56155281$ 处和在 $- 1.56155281$ 处的值。

$V = π (36 ((\frac{{2.56155281}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

解题步骤 11.2

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $2.56155281$ 处和在 $- 1.56155281$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

解题步骤 11.3

计算 $80 x$ 在 $2.56155281$ 处和在 $- 1.56155281$ 处的值。

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4

化简。

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解题步骤 11.4.1

对 $2.56155281$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.2

对 $- 1.56155281$ 进行 $2$ 次方运算。

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.3

在公分母上合并分子。

$V = π (36 (\frac{6.56155281 - 2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.4

从 $6.56155281$ 中减去 $2.43844718$ 。

$V = π (36 (\frac{4.12310562}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.5

组合 $36$ 和 $\frac{4.12310562}{2}$ 。

$V = π (\frac{36 \cdot 4.12310562}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.6

将 $36$ 乘以 $4.12310562$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.7

对 $2.56155281$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.8

对 $- 1.56155281$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{- 9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.9

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + 1 (\frac{9.28503157}{5})) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.11

将 $\frac{9.28503157}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.12

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 \frac{110.28503157 + 9.28503157}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.13

将 $110.28503157$ 和 $9.28503157$ 相加。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{119.57006314}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.14

组合 $- 4$ 和 $\frac{119.57006314}{5}$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 4 \cdot 119.57006314}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.15

将 $- 4$ 乘以 $119.57006314$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.16

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.17

要将 $\frac{148.43180252}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.18

要将 $- \frac{478.28025257}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.19

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $10$ 的形式。

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解题步骤 11.4.19.1

将 $\frac{148.43180252}{2}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.19.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.19.3

将 $\frac{478.28025257}{5}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{5 \cdot 2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.19.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.20

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.21

将 $148.43180252$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{742.15901261 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.22

将 $- 478.28025257$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{742.15901261 - 956.56050514}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.23

从 $742.15901261$ 中减去 $956.56050514$ 。

$V = π (\frac{- 214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.24

将负号移到分数的前面。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.25

将 $80$ 乘以 $2.56155281$ 。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 - 80 \cdot - 1.56155281)$

解题步骤 11.4.26

将 $- 80$ 乘以 $- 1.56155281$ 。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 + 124.92422502)$

解题步骤 11.4.27

将 $204.92422502$ 和 $124.92422502$ 相加。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004)$

解题步骤 11.4.28

要将 $329.84845004$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004 \cdot \frac{10}{10})$

解题步骤 11.4.29

组合 $329.84845004$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + \frac{329.84845004 \cdot 10}{10})$

解题步骤 11.4.30

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 329.84845004 \cdot 10}{10})$

解题步骤 11.4.31

将 $329.84845004$ 乘以 $10$ 。

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 3298.48450049}{10})$

解题步骤 11.4.32

将 $- 214.40149253$ 和 $3298.48450049$ 相加。

$V = π (\frac{3084.08300796}{10})$

解题步骤 11.4.33

组合 $π$ 和 $\frac{3084.08300796}{10}$ 。

$V = \frac{π \cdot 3084.08300796}{10}$

解题步骤 11.4.34

将 $π$ 乘以 $3084.08300796$ 。

$V = \frac{9688.93252087}{10}$

解题步骤 12

用 $9688.93252087$ 除以 $10$ 。

$V = 968.89325208$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例