微积分学示例

$\frac{\sec (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ 等于 $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ，其中 $f (q) = \sec (q) + \csc (q)$ 且 $g (q) = \csc (q)$ 。

$\frac{\csc (q) \frac{d}{d q} [\sec (q) + \csc (q)] - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sec (q) + \csc (q)$ 对 $q$ 的导数是 $\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]$ 。

$\frac{\csc (q) (\frac{d}{d q} [\sec (q)] + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 3

$\sec (q)$ 对 $q$ 的导数为 $\sec (q) \tan (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) + \frac{d}{d q} [\csc (q)]) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 4

$\csc (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \csc (q) \cot (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) \frac{d}{d q} [\csc (q)]}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 5

$\csc (q)$ 对 $q$ 的导数为 $- \csc (q) \cot (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) - (\sec (q) + \csc (q)) (- \csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + 1 (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 6.2

将 $\sec (q) + \csc (q)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) (\csc (q) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 6.3

从 $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + (\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ 中分解出因数 $\csc (q)$ 。

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解题步骤 6.3.1

从 $(\sec (q) + \csc (q)) \csc (q) \cot (q)$ 中分解出因数 $\csc (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 6.3.2

从 $\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q)) + \csc (q) ((\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))$ 中分解出因数 $\csc (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc^{2} (q)}$

解题步骤 7

约去公因数。

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解题步骤 7.1

从 $\csc^{2} (q)$ 中分解出因数 $\csc (q)$ 。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\frac{\csc (q) (\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q))}{\csc (q) \csc (q)}$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + (\sec (q) + \csc (q)) \cot (q)}{\csc (q)}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2

化简分子。

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解题步骤 8.2.1

合并 $\sec (q) \tan (q) - \csc (q) \cot (q) + \sec (q) \cot (q) + \csc (q) \cot (q)$ 中相反的项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $- \csc (q) \cot (q)$ 和 $\csc (q) \cot (q)$ 相加。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q) + 0}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \sec (q) \cot (q)}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 8.2.2.1.1

将 $\sec (q)$ 和 $\cot (q)$ 重新排序。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \cot (q) \sec (q)}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2.2.1.2

将 $\sec (q) \cot (q)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{\cos (q)}{\sin (q)} \cdot \frac{1}{\cos (q)}}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2.2.1.3

约去公因数。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \frac{1}{\sin (q)}}{\csc (q)}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $\frac{1}{\sin (q)}$ 转换成 $\csc (q)$ 。

$\frac{\sec (q) \tan (q) + \csc (q)}{\csc (q)}$

微积分学 示例

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